Question

8．设$\overrightarrow{OM}$=（2，1），$\overrightarrow{ON}$=（0，1），O为坐标原点，动点P（x，y）满足0≤$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$≤1，0≤$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{ON}$≤1，则x-y的最小值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． -$\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 $\overrightarrow{OP}=（x，y）$，进行数量积的运算从而可得到$\left\{\begin{array}{l}{0≤2x+y≤1}\\{0≤y≤1}\end{array}\right.$，画出该不等式组所表示的平面区域，设z=x-y，从而有y=x-z，将该式看成在y轴上的截距为-z的直线，从而根据图形找到使-z取最大值，即使z取最小值的点，将该点坐标带入z=x-y便得到z的最小值．

解答 解：$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OM}=2x+y$，$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{ON}=y$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{0≤2x+y≤1}\\{0≤y≤1}\end{array}\right.$；
该不等式组表示的平面区域为下图阴影部分所示：
设z=x-y，即y=x-z；
∴当直线y=x-z的截距-z最大时，z最小；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{2x+y=0}\end{array}\right.$得阴影部分最左边的点为（$-\frac{1}{2}，1$），当y=x-z过该点时z最小；
∴$1=-\frac{1}{2}-z$；
∴z=$-\frac{3}{2}$；
即x-y的最小值为$-\frac{3}{2}$．
故选D．

点评 考查数量积的坐标运算，根据点的坐标求向量的坐标，能找出不等式组表示的平面区域，利用线性规划的知识求最值的方法．