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已知相交于A、B两点,过A点作切线交于点E,连接EB并延长交于点C,直线CA交于点D,
  
(1)当点D与点A不重合时(如图1),证明:ED2=EB·EC;
(2)当点D与点A重合时(如图2),若BC=2,BE=6,求的直径长.

(1)证明详见解析;(2)

解析试题分析:(1)连接AB,在EA的延长线上取点F,由弦切角定理可得∠FAC=∠ABC,而∠FAC=∠DAE,(对顶角)证得∠ABC=∠DAE,然后内接四边形的性质证得∠ABC=∠ADE,即得∠DAE=∠ADE.所以EAED,由切割线定理可得,即.
(2)直线CA与⊙O2只有一个公共点,所以直线CA与⊙O2相切,由弦切角定理知:然后证明,即ACAE分别为⊙O1和⊙O2的直径.最后根据切割线定理证得AE的长.
试题解析:(1)连接AB,在EA的延长线上取点F,如图①所示.
AE是⊙O1的切线,切点为A
∴∠FAC=∠ABC,.∵∠FAC=∠DAE
∴∠ABC=∠DAE,∵∠ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角,
∴∠ABC=∠ADE,∴∠DAE=∠ADE.∴EAED,∵,∴

(2)当点D与点A重合时,直线CA与⊙O2只有一个公共点,
所以直线CA与⊙O2相切.如图②所示,由弦切角定理知:


ACAE分别为⊙O1和⊙O2的直径.    8分
∴由切割线定理知:EA2BE·CE,而CB=2,BE=6,CE=8
EA2=6×8=48,AE.故⊙O2的直径为.      10分
考点:1.弦切角定理;2. 切割线定理;

练习册系列答案
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