Question

3．P（1，1）为椭圆$\frac{x2}{4}$+$\frac{y2}{2}$=1内一定点，经过P引一弦，使此弦在P点被平分，求此弦所在的直线方程．

Answer 1

分析 方法一：设直线的斜率，代入椭圆方程，根据韦达定理及中点坐标公式，即可求得直线的斜率，求得直线方程；
方法二：设弦的两端点坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），代入椭圆方程，作差，即可求得直线的斜率，求得的直线方程；
方法三：设过P的弦与椭圆相交于M（1+m，1+n），N（1-m，1-n），代入椭圆方程，作差，即可求得m+2n=0，则直线k=$\frac{n}{m}$=-$\frac{1}{2}$，求得的直线方程；

解答 解：解法一：易知引弦所在直线的斜率存在，则设其方程为y-1=k（x-1），
弦的两端点为（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y-1=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y得（2k²+1）x²-4k（k-1）x+2（k²-2k-1）=0，
∴x₁+x₂=$\frac{4k（k-1）}{2{k}^{2}+1}$．
又∵x₁+x₂=2，∴$\frac{4k（k-1）}{2{k}^{2}+1}$=2，得k=-$\frac{1}{2}$．
故弦所在直线方程为y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），即x+2y-3=0．
解法二：由于此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，且设弦的两端点坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
则$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}$+$\frac{{y}_{1}^{2}}{2}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}$+$\frac{{y}_{2}^{2}}{2}$=1，两式相减得
$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{4}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{2}$=0．
∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
∴$\frac{x1-x2}{2}$+（y₁-y₂）=0，
∴k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$．
∴此弦所在直线方程为y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），即x+2y-3=0．
∴此弦所在的直线方程x+2y-3=0．
方法三：由题意可知：过P的弦与椭圆相交于M（1+m，1+n），N（1-m，1-n），
由M，N在椭圆方程：$\frac{（1+m）^{2}}{4}+\frac{（1+n）^{2}}{2}=1$，$\frac{（1-m）^{2}}{4}+\frac{（1-n）^{2}}{2}=1$，
两式相减得：m+2n=0，
则直线MN的斜率k=$\frac{（1+n）-（1-n）}{（1+m）-（1-m）}$=$\frac{n}{m}$=-$\frac{1}{2}$，
此弦所在直线方程为y-1=-$\frac{1}{2}$（x-1），即x+2y-3=0．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的点斜式方程，点差法的应用，方法多，注意灵活应用，考查计算能力，属于中档题．