Question

【理科】已知双曲线的中心在坐标原点O，一条准线方程为x=

3

2

，且与椭圆

x2

25

+

y2

13

=1有共同的焦点．
（1）求此双曲线的方程；
（2）设直线：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，试问：是否存在实数k，使得以弦AB为直径的圆过点O？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)．由已知得：c2=12，

a2

c

=

3

2

，则a²=3，b²=9，从而可求双曲线的标准方程；
（2）将y=kx+3代入

x2

3

-

y2

9

=1得（3-k²）x²-6kx-18=0，从而可得k的范围．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是上述方程的两个根，由题意知：OA⊥OB，则x₁x₂+y₁y₂=0，从而可求满足条件的实数k．

解答： 解：（1）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)．
由已知得：c2=12，

a2

c

=

3

2

，则a²=3，b²=9，…（3分）
因此所求双曲线的标准方程为

x2

3

-

y2

9

=1．…（5分）
（2）存在实数k，使得以弦AB为直径的圆过点O，…（6分）
将y=kx+3代入

x2

3

-

y2

9

=1得（3-k²）x²-6kx-18=0，
则由3-k²≠0，△=216-36k²＞0得-

6

＜k＜

6

，k≠±

3

；…（8分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是上述方程的两个根，
由题意知：OA⊥OB，则x₁x₂+y₁y₂=0，…（10分）
又y₁=kx₁+3，y₂=kx₂+3，
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=

9k2-9

k2-3

=0，
即k=±1满足条件．…（12分）

点评：本题以椭圆的标准方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是将问题进行等价转化．