Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2

2

，右焦点为F（1，0），直线l经过点F，且与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）当直线l绕点F转动时，试问：在x轴上是否存在定点M，使得

MA

•

MB

为常数？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）因为椭圆的离心率为

2

2

，所以e=

c

a

=

2

2

，再根据右焦点为F（1，0），求出c的值，就可得到a的值，再根据a，b，c的关系，解出b值，则椭圆方程可知．
（II）当直线l斜率存在时，设出直线l的方程，与椭圆方程联立，消去y，得到关于a的一元二次方程，求出x₁+x₂，x₁x₂，设出M点坐标，求出

MA

，

MB

的坐标，以及

MA

•

MB

，要使得

MA

•

MB

为常数λ，只需要

(2k2-4t+1)k2+(t2-2)

1+2k2

=λ，化简，可求出λ的值，当直线l垂直于x轴时，同样求出λ的值，两个λ一致，所以在x轴上存在定点M，使得

MA

•

MB

为常数．

解答：解：（I）由题意可知，c=1，又e=

c

a

=

2

2

，解得a=

2

∴b²=a²-c²=1
∴椭圆的标准方程为

x2

2

+y2=1
（II）若直线l不垂直于x轴，可设l的方程为y=k（x-1）
由

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
△=16k⁴-4（1+2k²）（2k²-2）=8k²+8＞0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

，
设M（t，0），则

MA

=（x₁-t，y₁），

MB

=（x₂-t，y₂），

MA

•

MB

=（x₁-t）（x₂-t）+y₁y₂
=x₁x₂-t（x₁+x₂）+t²+k²（x₁-1）（x₂-1）
=（1+k²）x₁x₂-（t+k²）（x₁+x₂）+t²+k²
=（1+k²）

2k2-2

1+2k2

-（t+k²）

4k2

1+2k2

）+t²+k²
=

(2k4-2k2+2k-2)-(4k4+4k2t)+(2k2t2+2k4+t2 +k2)

1+2k2

=

(2k2-4t+1)k2+(t2-2)

1+2k2

要使得

MA

•

MB

=λ（λ为常数），只要

(2k2-4t+1)k2+(t2-2)

1+2k2

=λ，
即（2t²-4t+1-2λ）k²+（t²-2-λ）=0（*）
对于任意实数k，要使（*）式恒成立，只要

2t2-4t+1-2λ0 (t2-2-λ=0

，
解得，

t= 4 5 λ=- 7 16

，
若直线l垂直于x轴，其方程为x=1
此时，直线与椭圆两交点为A（1，

2

2

），B（1，-

2

2

）
取点S（

5

4

，0），有

SA

=（-

1

4

，

2

2

），

SB

=（-

1

4

，

2

2

），

SA

• 

SB

=-

7

16

=λ
综上所述，过定点F（1，0）的直线l与椭圆相交于A，B两点，当直线l绕点F转动时，存在定点M（

5

4

，0），
使得

MA

•

MB

=-

7

16

点评：本题主要考查了椭圆方程的求法，以及动直线与椭圆相交时存在性问题的解法．做题时综合运用了向量数量积的运算，韦达定理的应用．