Question

数列{a_n}的各项均为正数，S_n其前n项和，对于任意的n∈N^*总有a_n，S_n，a_n²成等差数列
（1）求a₁； 
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设数列{b_n}的前n项和为T_n，且b_n=

1

an2

，求证：对任意正整数n，总有T_n＜2．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由已知：对于任意的n∈N^*总有a_n，S_n，a_n²成等差数列，数列{a_n}的各项均为正数，可得2S₁=a₁+a₁²，即可求a₁； 
（2）由已知可得2S_n-1=a_n-1+a_n-1²（n≥2从而导出a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），利用a_n，a_n-1均为正数，所以a_n-a_n-1=1（n≥2），由此推出a_n=n．
（3）利用放缩、裂项法，即可证明结论．

解答： 解：（1）由已知：对于任意的n∈N^*总有a_n，S_n，a_n²成等差数列，数列{a_n}的各项均为正数，
∴2S₁=a₁+a₁²，解得a₁=1
（2）由已知：对于n∈N^*，总有2S_n=a_n+a_n²①成立
∴2S_n-1=a_n-1+a_n-1²（n≥2）②
①②得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²
∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1）∵a_n，a_n-1均为正数，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2）
∴数列{a_n}是公差为1的等差数列．
∴a_n=n．
（3）b_n=

1

an2

=

1

n2

＜

1

n-1

-

1

n

（n≥2）
当n=1时，T_n=b₁=1＜2，
当n≥2时，T_n=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜1+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）=2-

1

n

＜2，
∴对任意正整数n，总有T_n＜2．

点评：本题考查数列的求和，着重考查递推关系的应用及等差关系关系的确定，这是重点也是难点，属于中档题