Question

1．如图，几何体EF-ABCD中，DE⊥平面ABCD，CDEF是正方形，ABCD为直角梯形，AB∥CD，AD⊥DC，△ACB的腰长为$2\sqrt{2}$的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求证：BC⊥AF；
（Ⅱ）求几何体EF-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明AC⊥BC．DE⊥BC．推出CF⊥BC．即可证明BC⊥平面ACF．然后推出BC⊥AF．
（Ⅱ）利用V_{几何体EF-ABCD}=V_{几何体A-CDEF}+V_{几何体F-ACB}，求解即可．

解答 （Ⅰ）证明：因为△ACB是腰长为$2\sqrt{2}$的等腰直角三角形，所以AC⊥BC．
因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥BC．
又DE∥CF，所以CF⊥BC．
又AC∩CF=C，所以BC⊥平面ACF．
所以BC⊥AF．
（Ⅱ）解：因为△ABC是腰长为$2\sqrt{2}$的等腰直角三角形，
所以$AC=BC=2\sqrt{2}，AB=\sqrt{A{C^2}+B{C^2}}=4$，
所以$AD=BCsin∠ABC=2\sqrt{2}×sin45°=2，CD=AB=BCcos∠ABC=4-2\sqrt{2}×cos45°=2$．
所以DE=EF=CF=2，
由勾股定理得$AE=\sqrt{A{D^2}+D{E^2}}=2\sqrt{2}$，
因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AD．
又AD⊥DC，DE∩DC=D，所以AD⊥平面CDEF．
所以V_{几何体EF-ABCD}=V_{几何体A-CDEF}+V_{几何体F-ACB}=$\frac{1}{3}{S_{四边形CDEF}}•AD+\frac{1}{3}{S_{△ABC}}•CF$=$\frac{1}{3}CD•DE•AD+\frac{1}{3}•\frac{1}{2}AC•BC•CF$=$\frac{1}{3}×2×2×2+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}×2$=$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．