Question

8．在等差数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q，且b₂+S₂=4，q=b₂S₂．
（I）求a_n与b_n；
（Ⅱ）设数列{c_n}满足c_n=a_n•b_n，求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）根据b₂=q，列方程组计算q与S₂，从而得出{a_n}的公差，从而得出{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）使用错位相减法求出T_n．

解答 解：（I）∵{b_n}为等比数列，公比为q，b₁=1，
∴b₂=q，∴$\left\{\begin{array}{l}{q+{S}_{2}=4}\\{q=q{S}_{2}}\end{array}\right.$，解得q=3，S₂=1．
∵a₁=$\frac{1}{3}$，∴a₂=$\frac{2}{3}$．∴{a_n}的公差为$\frac{1}{3}$．
∴a_n=$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}（n-1）$=$\frac{n}{3}$，b_n=3^n-1．
（II）c_n=$\frac{n}{3}•{3}^{n-1}$=n•3^n-2．
∴T_n=1×3^-1+2×3⁰+3×3¹+4×3²+…+n×3^n-2，①
∴3T_n=1×3⁰+2×3¹+3×3²+4×3³+…+（n-1）×3^n-2+n×3^n-1，②
①-②得：-2T_n=3^-1+3⁰+3¹+3²+…+3^n-2-n×3^n-1=$\frac{\frac{1}{3}（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n×3^n-1=（$\frac{1}{2}-n$）3^n-1-$\frac{1}{6}$．
∴T_n=$\frac{2n-1}{4}•{3}^{n-1}$+$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查了等差数列，等比数列的通项公式，数列求和，属于中档题．