Question

某企业为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的设备维修、燃料和动力等消耗的费用（称为设备的低劣化值）会逐年增加，第一年设备低劣化值是4万元，从第二年到第七年，每年设备低劣化值均比上年增加2万元，从第八年开始，每年设备低劣化值比上年增加25%．
（1）设第年该生产线设备低劣化值为，求的表达式；
（2）若该生产线前年设备低劣化平均值为,当达到或超过12万元时，则当年需要更新生产线，试判断第几年需要更新该生产线，并说明理由.

Answer 1

（1）；（2）第九年.

试题分析：（1）可知时，构成等差数列；时构成等比数列.然后由条件即可得出的表达式，注意写出分段函数的形式；（2）先写出即的表达式，然后判定其单调性，得出是增函数，从而求出时的取值范围.所以得到第九年需要更新该生产线.
试题解析：（1）当时，数列是首项为4，公差为2的等差数列，
                             3分
当时，数列是首项为，公比为的等比数列，又，
 
的表达式为                         6分
（2）设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得
当时，
当时，由
该生产线前n年设备低劣化平均值为 9分
当时，数列为单调递增数列；
当时，，
所以为单调递增数列.                                              11分
又则第九年需要更新该生产线.   13分