Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点为（

2

，0），且椭圆过点A（

2

，1）．
（1）求椭圆的方程；
（2）设M（0，m）（m＞0），P是椭圆上的一个动点，求PM的最大值（用m表示）．

Answer 1

分析：（1）由题设条件知c=

2

，可设椭圆方程为

x2

b2+2

+

y2

b2

=1．由点A（

2

，1）在椭圆上，知b²=2，a²=4，由此能求出椭圆方程．
（2）设P（x₀，y₀），则

x

2 0

+2

y

2 0

=4．利用丙点间的距离公式建立关于x₀的二次函数，结合分类讨论思想即可求得最大值．

解答：解：（1）由题意，c=

2

，则a²=b²+2．           …（2分）
可设椭圆方程为

x2

b2+2

+

y2

b2

=1．
∵椭圆过点（

2

，1），∴

2

b2+2

+

1

b2

=1，解得b²=2． …（4分）
（或由椭圆定义，得2a=

(2 2 )2+1

+1=4，则a=2，同样得2分）
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．                      …（6分）
（2）设P（x₀，y₀），则

x

2 0

+2

y

2 0

=4．
∴PM2=(x0-0)2+(y0-m)2=2m2+4-(y0+m)2．  …（9分）
由

x

2 0

+2

y

2 0

=4，得y0∈[-

2

，

2

]．               …（11分）
∴当m∈(0，

2

]时，在y₀=-m时，得PM的最大值为

4+2m2

； …（13分）
当m∈(

2

，+∞)时，在y₀=-

2

时，得PM的最大值为m+

2

．  …（15分）
即PMmax=

2m2+4 ，  m∈(0， 2 ] m+ 2 ，     m∈( 2 ，+∞)

…（16分）

点评：本题考查椭圆方程的求法和点与椭圆的位置关系的应用，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．