Question

已知f（x）=log_ax，g（x）=2log_a（2x+t-2）（a＞0，a≠1，t∈R）．
（1）当t=5时，求函数g（x）图象过的定点；
（2）当t=4，x∈[1，2]，且F（x）=g（x）-f（x）有最小值2时，求a的值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,对数函数的单调性与特殊点

专题：函数的性质及应用

分析：（1）通过当t=5时，利用对数函数的特征，求函数g（x）图象过的定点；
（2）化简F（x）=g（x）-f（x）的表达式，利用分类讨论a，函数的最小值2，求a的值．

解答： （普通班做）
解：（1）当t=5时，g（x）=2log_a（2x+3）（a＞0，a≠1，t∈R），
∴g（x）图象必过定点（-1，0）．
（2）当t=4时，F(x)=g(x)-f(x)=2loga(2x+2)-logax=loga

(2x+2)2

x

=loga[4(x+

1

x

)+8]
当x∈[1，2]时，4(x+

1

x

)+8∈[16，18]，
若a＞1，则F（x）_min=log_a16=2，解得a=4或a=-4（舍去）；
若0＜a＜1，则F（x）_min=log_a18=2，解得a=3

2

（舍去），故a=4．

点评：本题考查对数函数的应用，函数的最值的求法，分类讨论思想的应用，考查计算能力．