Question

已知曲线C：y=

1

3

x³-2x²+3x+3，
（1）求函数在点（0，3）处的切线方程；
（2）求曲线C在定义域范围的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由斜截式方程即可得到切线的方程；
（2）求出定义域和函数的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间．

解答： 解：（1）y=

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3

x³-2x²+3x+3的导数为y′=x²-4x+3，
即有函数在点（0，3）处的切线斜率为k=3，
则有函数在点（0，3）处的切线方程为y=3x+3；
（2）由于函数的定义域为R，且y′=x²-4x+3，
令y′＞0，解得x＞3或x＜1；
令y′＜0，解得1＜x＜3．
则有函数的增区间为（-∞，1），（3，+∞）；
减区间为（1，3）．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，掌握导数的几何意义和二次不等式的解法是解题的关键．