Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面,,，,.

（1）求证：平面；

（2）若为中点，为线段上一点，平面，求的值；

（3）求二面角的的大小;

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）先证明平面，再平面.(2)先根据平面证明，再利用相似三角形求得.（3）建立空间直角坐标系利用向量法求得二面角的大小为.

（1）证明：如图1，因为平面平面，

平面平面，平面，

，所以平面.

因为平面，

所以平面平面.

（2）如图2，取中点，连接，因为平面，平面，

平面平面，所以.

所以.

因为，，

所以.

所以.

所以.所以=.

因为为的中点，

所以.

（3）连接，由（1）知平面，

平面，平面

所以，

因为，点为中点，所以.

作，所以.

如图3建立空间坐标坐标系.

因为

所以，

因为，，，

所以平面.平面的法向量.

设平面的法向量，则有 即

令，则，，即.

.

由题知二面角为锐角，

所以二面角的大小为.