Question

对于函数y=f（x），若其定义域内存在两个实数m，n（m＜n），使得x∈[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称函数f（x）为“和谐函数”，若函数f（x）=k+

x+2

是“和谐函数”，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：

分析：先判断函数f（x）=k+

x+2

是单调增函数，根据和谐函数的定义，存在实数m，n，x∈[m，n]时，f（x）∈[m，n]，所以得到

k+ m+2 =m k+ n+2 =n

，所以方程k+

x+2

=x有两个不等实根．并且得到k=x-

x+2

令y=x-

x+2

，令t=

x+2

得到y=t²-t-2，通过图象即可求出k的取值范围．

解答： 解：f′（x）=

1

2 x+2

＞0，∴函数f（x）在[-2，+∞）上是增函数；
x∈[m，n]时，f（m）≤f（x）≤f（n）；
∴

f(m)=k+ m+2 =m f(n)=k+ n+2 =n

；
∴方程k+

x+2

=x在[-2，+∞）上有两个不等实根；
∴k=x-

x+2

，即对于同一个k有两个x对应；
设y=x-

x+2

（x≥-2），令t=

x+2

（t≥0），x=t²-2；
∴y=t²-t-2
如图：当-

9

4

＜y≤-2，即-

9

4

＜k≤-2时，对于同一个k有两个x对应，∴方程k+

x+2

=x有两个不等实根，符合条件，
∴k的取值范围为(-

9

4

，-2]．

点评：考查单调函数的值域，方程的根和对应函数的y取值的关系，通过图象会比较形象的看出答案．