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已知函数f(x)=ax2+x-3,g(x)=-x+4lnx,h(x)=f(x)-g(x)
(1)当a=1时,求函数h(x)的极值;
(2)若函数h(x)有两个极值点,求实数a的取值范围;
(3)定义:对于函数F(x)和G(x),若存在直线?:y=kx+b,使得对于函数F(x)和G(x)各自定义域内的任意x,都有F(x)≥kx+b且G(x)≤kx+b成立,则称直线?:y=kx+b为函数F(x)和G(x)的“隔离直线”.则当a=1时,函数f(x)和g(x)是否存在“隔离直线”.若存在,求出所有的“隔离直线”;若不存在,请说明理由.
分析:(1)确定函数的定义域,再求导函数,确定函数的单调性,从而可以求函数h(x)的极值;
(2)函数h(x)有两个极值点,等价于导函数为0的方程有两个不相等的正数解,利用韦达定理可解;
(3)利用新定义,先确定“隔离直线”,再进行证明即可.
解答:解:(1)a=1时,f(x)=x2+x-3,h(x)=x2+2x-3-4lnx,h(x)的定义域是(0,+∞),h(x)=2x+2-
4
x
=
2(x+2)(x-1)
x

当x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)递减,
当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)递增
∴x=1时,h(x)取得极小值h(1)=0,h(x)无极大值.…(4分)
(2)h(x)=ax2+2x-4lnx-3,x∈(0,+∞),h′(x)=2ax+2-
4
x
=
2ax2+2x-4
x

依题意,方程2ax2+2x-4=0在(0,+∞)上有两个不相等的正数解.
a≠0
△=4+32a>0
-
1
a
>0
-
2
a
>0
,∴-
1
8
<a<0

∴a的取值范围是(-
1
8
,0)…(9分)
(3)设存在,a=1时,f(x)=x2+x-3
由(1)知,当且仅当x=1时,h(x)=0,此时,f(1)=g(1)=-1
∴y=f(x)与y=g(x)的图象有唯一的交点A(1,-1)
直线?必过点A,设?的方程:y+1=k(x-1),即y=kx-k-1
由f(x)≥kx-k-1恒成立得x2+(1-k)x+k-2≥0恒成立
∴△=(1-k)2-4(k-2)=(k-3)2≤0
∴k=3,直线?的方程:y=3x-4…(12分)
以下证明g(x)≤3x-4对x>0恒成立
?(x)=3x-4-g(x)=4x-4-4lnx,?(x)=4-
4
x
=
4(x-1)
x

当x∈(0,1)时,?′(x)<0,?(x)递减,当x∈(1,+∞)时,?′(x)>0,?(x)递增,
∴?(x)的最小值为?(1)=0,∴?(x)≥0恒成立
即g(x)≤3x-4对x>0恒成立
综上,f(x)和g(x)存在唯一的“隔离直线”:y=3x-4…(14分)
点评:本题考查导数函数单调性中的应用,考查学生对新定义的理解.解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地运用导数的性质进行求解.
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已知函数f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)当a∈[-2,
1
4
)
时,求f(x)的最大值;
(2)设g(x)=[f(x)-lnx]•x2,k是g(x)图象上不同两点的连线的斜率,否存在实数a,使得k≤1恒成立?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.

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34
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(-∞,-2)
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