Question

5．已知△ABC的三边长分别为BC=a，AC=b，AB=c，I为△ABC的内心，且I在△ABC的边BC、AC、AB上的射影分别为D、E、F，求AE的长度以及△ABC内切圆的半径．

Answer 1

分析 根据题意和内心的性质列出方程求出AE，根据面积相等、余弦定理和平方关系求出△ABC内切圆的半径．

解答 解：如图所示：I为△ABC的内心，D、E、F分别是三边的切点，
∴AE=AF，BD=BF，CD=CE，
设AE=AF=x，则BF=c-x，CE=b-x，
∴BC=BD+CD，则a=c-x+b-x，得x=$\frac{b+c-a}{2}$，
即AE=$\frac{b+c-a}{2}$，
设△ABC内切圆的半径为r，则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}（a+b+c）r$，
在△ABC中，由余弦定理得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{[（b+c）^{2}-{a}^{2}][{a}^{2}-（b-c）^{2}）}}{2bc}$，
由面积相等得，$\frac{1}{2}（a+b+c）r$=$\frac{1}{2}bc•$$\frac{\sqrt{[（b+c）^{2}-{a}^{2}][{a}^{2}-（b-c）^{2}）}}{2bc}$，
化简得r=$\frac{\sqrt{[（b+c）^{2}-{a}^{2}][{a}^{2}-（b-c）^{2}]}}{2（a+b+c）}$，
综上可得，AE=$\frac{b+c-a}{2}$、△ABC内切圆的半径是$\frac{\sqrt{[（b+c）^{2}-{a}^{2}][{a}^{2}-（b-c）^{2}]}}{2（a+b+c）}$．

点评 本题考查余弦定理，三角形内心的性质等，以及等面积法的应用，考查化简、变形能力．