Question

15．已知数列{a_n}的通项公式a_n=log_n+1（n+2）（n∈N^*），记J_n=a₁•a₂•a₃…a_n为数列{a_n}的前n项积，定义能使J_n为整数的正整数n为劣数，则在区间（1，2016）内所有的劣数和为2026．

Answer 1

分析 本题是数列与对数函数性质的综合应用，首先利用换底公式将通项进行变形有${a}_{n}=lo{g}_{n+1}（n+2）=\frac{lo{g}_{2}（n+2）}{lo{g}_{2}（n+1）}$，此时${J}_{n}=\frac{lo{g}_{2}3}{lo{g}_{2}2}×\frac{lo{g}_{2}4}{lo{g}_{2}3}$×…×$\frac{lo{g}_{2}（n+1）}{lo{g}_{2}n}×\frac{lo{g}_{2}（n+2）}{lo{g}_{2}（n+1）}$=$\frac{lo{g}_{2}（n+2）}{lo{g}_{2}2}=lo{g}_{2}（n+2）$，J_n为整数，则需要n+2=2^t，其中t为大于1的自然数，此时可以构造J_n的劣数数列{b_m}，其中${b}_{m}={2}^{m+1}-2，m∈{N}^{*}$，此时可有两种方法解决题中所问，一种是求出所有项再求和；另一种是利用数列部分知识求出前m项和公式再求解，无论用哪种方法均需要．先求出满足题意的最大项．

解答 解：利用换底公式有${a}_{n}=\frac{lo{g}_{2}（n+2）}{lo{g}_{2}（n+1）}$，则${J}_{n}=\frac{lo{g}_{2}3}{lo{g}_{2}2}×\frac{lo{g}_{2}4}{lo{g}_{2}3}$×…×$\frac{lo{g}_{2}（n+2）}{lo{g}_{2}（n+1）}=lo{g}_{2}（n+2）$，
若J_n为正整数，需要n+2=2^t且t为大于1的自然数，
构造J_n的劣数数列{b_m}，通项公式为${b}_{m}={2}^{m+1}-2，m∈{N}^{*}$，
依题意有0＜b_m＜2016，解得1≤m≤9且m∈N^*，通过观察发现它是由一个等比数列和常数列构成的，
所以${S}_{m}=\frac{4×（1-{2}^{m}）}{1-2}-2m$，∴S₉=2026；
故：答案应为2026．

点评 本题考察重点有两部分，一是对数性质中的换底公式；二是数列部分的内容，将所求问题进行转化，变为数列的求和问题，进而利用数列部分的知识解决问题．