Question

已知ABCD中，AD=BC．AD∥BC，且AB=3

2

，AD=2

3

．BD=

6

，沿BD将其折成一个二面角A-BD-C，使得AB⊥CD．
（1）求二面角A-BD-C的大小；
（2）求折后点A到面BCD的距离．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,点、线、面间的距离计算

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）作AO⊥平面BCD于O，连接BO，则∠ABO为AB与平面BCD所成角．由AB⊥CD，BO是AB在平面BCD上的射影，知CD⊥BO．由AD⊥BD，可得∠ADO为二面角A-BD-C的平面角，求出cos∠ABO=

2

2

，可得AO，即可得出结论；
（2）由（1）知，AO=3，即折后点A到面BCD的距离．

解答： 解：（1）作AO⊥平面BCD于O，连接BO，
则∠ABO为AB与平面BCD所成角．
∵AB⊥CD，BO是AB在平面BCD上的射影，
∴CD⊥BO
∵AB=3

2

，AD=2

3

，BD=

6

，
∴AD⊥BD，
∴∠ADO为二面角A-BD-C的平面角．
∵cos∠ABD=cos∠DBO•cos∠ABO，
∴

6

3 2

=

2 3

3 2

•cos∠ABO，
∴cos∠ABO=

2

2

∴AO=3，
∴sin∠ADO=

3

2 3

=

3

2

，
∴∠ADO=60°；
（2）由（1）知，AO=3，即折后点A到面BCD的距离为3．

点评：本题考查折后二面角A-BD-C的大小，折后点A到面BCD的距离．考查化归与转化思想．综合性强，难度大，确定折后点A到面BCD的距离是关键．