Question

已知数列{a_n}满足a₁=-1，a₂=1，a_n=a_n-1-a_n-2（n≥3，n∈N^*），它的前n项和为S_n，则S₁₆的值为（　　）

• A、1
• B、3
• C、2
• D、-2

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出a_n+3=-a_n，a_n+6=a_n，从而数列{a_n}是周期为6的周期数列，由此能求出S₁₆的值．

解答： 解：∵a_n=a_n-1-a_n-2（n≥3，n∈N^*），
∴a_n+1=a_n-a_n-1（n≥3，n∈N^*），
即a_n+1=a_n-a_n-1=a_n-1-a_n-2-a_n-1=-a_n-2，
∴a_n+3=-a_n，即a_n+6=a_n，
∴数列{a_n}是周期为6的周期数列，
∴a₄=-a₁=1，a₃=a₂-a₁=a₂+1，a₅=-a₂，a₆=-a₃，
∴a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=0，
∴S₁₆=2×0+a₁+a₂+a₃+a₄=2a₂+1=3．
故选：B．

点评：本题考查数列的前16项的和的求法，是中档题，解题的关键是推导出数列{a_n}是周期为6的周期数列．