Question

11．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），P为椭圆上与长轴端点不重合的一点，F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，过F₂作∠F₁PF₂外角平分线的垂线，垂足为Q，若|OQ|=2b，椭圆的离心率为e，则$\frac{{{a^2}+{e^2}}}{2b}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 1

Answer 1

分析 由题意画出图形，利用转化思想方法求得OQ=a，又OQ=2b，得a=2b，进一步得到a，e与b的关系，然后利用基本不等式求得$\frac{{{a^2}+{e^2}}}{2b}$的最小值．

解答 解：如图，由题意，P是以F₁，F₂为焦点的椭圆上一点，
过焦点F₂作∠F₁PF₂外角平分线的垂线，垂足为Q，
延长F₂Q交F₁P延长线于M，得PM=PF₂，
由椭圆的定义知PF₁+PF₂=2a，故有PF₁+PM=MF₁=2a，
连接OQ，知OQ是三角形F₁F₂M的中位线，
∴OQ=a，又OQ=2b，
∴a=2b，则a²=4b²=4（a²-c²），
即c²=$\frac{3}{4}$a²，
∴$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{2b}$=$\frac{{a}^{4}+{c}^{2}}{2{a}^{2}b}$=$\frac{16{b}^{4}+\frac{3}{4}•4{b}^{2}}{8{b}^{3}}$
=2b+$\frac{3}{8b}$≥2$\sqrt{2b•\frac{3}{8b}}$=$\sqrt{3}$．
当且仅当2b=$\frac{3}{8b}$，即b=$\frac{\sqrt{3}}{4}$时，$\frac{{a}^{2}+{e}^{2}}{2b}$有最小值为$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了数学转化思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．