Question

如图所示直三棱柱ABG-DCE中ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，F为AG的中点，BE与平面ABCD所成角的正切值为

2

2

．
（1）求证：AC∥平面EFB；
（2）求二面角F-BE-A的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知条件推导出DE=2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AC∥平面EFB．
（2）求出平面BEA的法向量和平面EFB的法向量，由此利用向量法能求出二面角F-BE-A的大小．

解答： （1）证明：∵ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，F为AG的中点，
BE与平面ABCD所成角的正切值为

2

2

，
∴∠DBE是BE与平面ABCD所成角，BD=

4+4

=2

2

，
∴tan∠DBE=

DE

BD

=

DE

2 2

=

2

2

，解得DE=2，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，
建立空间直角坐标系，
A（2，0，0），C（0，2，0），

AC

=（-2，2，0），
E（0，0，2），F（2，0，1），B（2，2，0），

EF

=（2，0，-1），

EB

=（2，2，-2），
设平面EFB的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • EF =2x-z=0 n • EB =2x+2y-2z=0

，取x=1，得

n

=（1，1，2），
∵

AC

•

n

=-2+2+0=0，又AC?平面EFB，
∴AC∥平面EFB．
（2）解：设平面BEA的法向量

m

=（a，b，c），
∵

EA

=（2，0，-2），

EB

=（2，2，-2），
∴

EA • m =2a-2c=0 EB • m =2a+2b-2c=0

，取a=1，得

m

=（1，0，1），
设二面角F-BE-A的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

n • m

| n |•| m |

|=|

1+0+2

6 × 2

|=

3

2

，
∴θ=

π

6

，
∴二面角F-BE-A的大小为

π

6

．

点评：本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．