Question

已知f（x）=2e^x-（x-a）²+3，a∈R，若x≥0时f（x）≥0恒成立，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：对原函数的导函数f′（x）求导，得到原函数的导函数g（x）的导数在[0，+∞）恒大于等于0，说明原函数的导函数在[0，+∞）内单调递增，求得导函数的最小值
g（0）=2（1+a）．然后对g（0）大于等于0和小于0分类，当2（1+a）≥0时原函数的导函数横大于等于0，原函数在[0，+∞）内单调递增，求出最小值，由最小值大于等于0求解a的取值范围；当2（1+a）＜0时，设出导函数的零点，通过分析原函数的导函数的符号得到f（x）在导函数的零点处取最小值f(x0)=2ex0-(x0-a)2+3，结合x0=ex0+a进一步求出f（x₀），由f（x₀）≥0求得实数a的取值范围．

解答： 解：f′（x）=2（e^x-x+a），
令g（x）=2（e^x-x+a），则g′（x）=2（e^x-1）≥0，
∴g（x）=2（e^x-x+a）在[0，+∞）内单调递增，g（0）=2（1+a）．
（i）当2（1+a）≥0，即a≥-1时，f′（x）=2（e^x-x+a）≥f′（0）≥0，
f（x）在[0，+∞）内单调递增，要想f（x）≥0，只需要f（0）=5-a²≥0，
解得-

5

≤a≤

5

，从而-1≤a≤

5

．
（ii）当2（1+a）＜0，即a＜-1时，
由g（x）=2（e^x-x+a）在[0，+∞）内单调递增知，
存在唯一x₀使得g（x₀）=2（ex0-x₀+a）=0，有ex0=x0-a，
令f′（x₀）＞0，解得x＞x₀，
令f′（x₀）＜0，解得0≤x＜x₀，
从而f（x）在x=x₀处取最小值f（x₀）=2ex0-(x0-a)2+3，
又x0=ex0+a，f(x0)=2ex0-(ex0)2+3=-(ex0+1)(ex0-3)，
从而应有f（x₀）≥0，即ex0-3≤0，解得0＜x₀≤ln3，
由ex0=x0-a可得a=x0-ex0，
有ln3-3≤a＜-1．
综上所述，ln3-3≤a≤

5

．

点评：本题考查利用导数研究函数的最值，其中对于恒成立问题，涉及到对原函数的导函数二次求导分析导函数的单调性，使问题的难度更大，特别是当导函数的最小值小于0时，如何借助于导函数的零点分析原函数的最小值，更是大多数学生难以逾越的地方，属难度较大的题目．