Question

3．已知函数f（x）=1-2sin（x+$\frac{π}{8}$）[sin（x+$\frac{π}{8}$）-cos（x+$\frac{π}{8}$）]，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数f（x+$\frac{π}{8}$）在区间[-$\frac{π}{2}$，0]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{2}$cos2x，根据三角函数周期公式即可求解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x+$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），由x∈[-$\frac{π}{2}$，0]，利用余弦函数的图象和性质即可得解．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）∵f（x）=1-2sin（x+$\frac{π}{8}$）[sin（x+$\frac{π}{8}$）-cos（x+$\frac{π}{8}$）]
=1-2sin²（x+$\frac{π}{8}$）+2sin（x+$\frac{π}{8}$）cos（x+$\frac{π}{8}$）
=cos（2x+$\frac{π}{4}$）+sin（2x+$\frac{π}{4}$）
=$\sqrt{2}$cos2x，
∴f（x）的最小正周期T=π．  …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x+$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
令g（x）=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$），
∵g（x）在[-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{8}$]上为增函数，在[-$\frac{π}{8}$，0]上为减函数，
且g（-$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{2}$cos（-$\frac{3π}{4}$）=-1，g（-$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{2}$，g（0）=$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{4}$=1，
∴g（x）在区间[-$\frac{π}{2}$，0]上的最大值为$\sqrt{2}$，最小值为-1，
即f（x+$\frac{π}{8}$）在区间[-$\frac{π}{2}$，0]上的最大值为$\sqrt{2}$，最小值为-1． …（13分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式，余弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．