Question

16．已知直线l：mx+y+m+2=0上存在点P（x，y）满足$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{x+y-4≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$，则l在y轴上的截距b取值范围为（　　）

• A． [-$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{2}$]
• B． [-$\frac{2}{3}$，+∞）
• C． [-∞，$\frac{1}{2}$]
• D． [0，$\frac{1}{2}$]

Answer 1

分析 作出可行域，根据图形，由直线l恒经过点P（-1，-2）可求出直线l的截距的最大值和最小值．

解答 解：作出约束条件表示的可行域如图所示：

直线l的方程化成点斜式为y+2=-m（x+1）．
∴直线l经过点P（-1，-2）．
设直线PC，PB在y轴上的截距分别是a，c．则直线l的截距a≤b≤c．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$得B（1，3），
∴直线PB的方程为$\frac{y+2}{3+2}=\frac{x+1}{1+1}$，即5x-2y+1=0，
当x=0时，y=$\frac{1}{2}$．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$得C（2，2）．
∴直线PC的方程为$\frac{y+2}{2+2}=\frac{x+1}{2+1}$，即4x-3y-2=0．
当x=0时，y=-$\frac{2}{3}$．
∴-$\frac{2}{3}≤b≤\frac{1}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了简单的线性规划，直线方程，属于中档题．