Question

8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA•cosC-cos（A+C）=sin²B．
（Ⅰ）证明：a，b，c成等比数列；
（Ⅱ）若角B的平分线BD交AC于点D，且b=6，S_△BAD=2S_△BCD，求BD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两角和的余弦函数公式化简已知等式可得sinAsinC=sin²B，由正弦定理可得：b²=ac，即可得证．
（Ⅱ）由已知可得：AD+CD=6，由三角形面积公式可得AD=2CD，从而可求AD=4，CD=2，由（Ⅰ）可得：b²=36，利用角平分线的性质可得AB=2BC，即c=2a，从而可求a，c的值，进而利用余弦定理可求cosA，即可由余弦定理求得BD的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）证明：∵cosA•cosC-cos（A+C）=sin²B．
∴cosA•cosC-（cosAcosC-sinAsinC）=sin²B，可得：sinAsinC=sin²B，
∴由正弦定理可得：b²=ac，
∴a，b，c成等比数列；
（Ⅱ）如图，∵角B的平分线BD交AC于点D，且b=6，可得：AD+CD=6，
∵S_△BAD=2S_△BCD，可得：AD=2CD，
∴解得：AD=4，CD=2，
∵由（Ⅰ）可得：b²=ac=36，
∵$\frac{AB}{BC}$=$\frac{AD}{DC}=\frac{4}{2}$，可得：AB=2BC，即c=2a，
∴解得：a=3$\sqrt{2}$，c=6$\sqrt{2}$，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$，
∴BD=$\sqrt{{c}^{2}+A{D}^{2}-2c•AD•cosA}$=2$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了两角和的余弦函数公式，正弦定理，三角形面积公式，角平分线的性质，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．