Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，有，椭圆的离心率为；

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知，过点作直线与椭圆交于不同两点，线段的中垂线为，线段的中点为点，记与轴的交点为，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）运用椭圆的定义可得a，再由离心率公式可得c，b，进而得到椭圆方程；

（2）设l：y=k（x﹣4），A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），联立椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式可得Q的坐标，求得直线的方程，可得M的坐标，运用两点距离公式可得|MQ|，运用换元法，结合二次函数的性质可得所求范围．

（1）因为，所以，所以，

因为，所以， 所以，

所以椭圆的标准方程为．

（2）由题意可知直线的斜率存在，设：，，，，

联立直线与椭圆，消去得，

，，

又，解得：，

，，

所以，

所以：，即，

化简得：，

令，得，即，

，

令，则，16

所以，

所以．