Question

15．已知等比数列{a_n}的第一项是$\frac{9}{8}$，最后一项是$\frac{1}{3}$．且各项的和是$\frac{65}{24}$．
求：（1）这个等比数列的公比q；
（2）这个等比数列的通项公式．

Answer 1

分析 （1）根据条件建立方程关系即可求这个等比数列的公比q；
（2）根据等比数列的通项公式即可求这个等比数列的通项公式．

解答 解：∵等比数列{a_n}的第一项是$\frac{9}{8}$，最后一项是$\frac{1}{3}$．且各项的和是$\frac{65}{24}$．
∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{\frac{9}{8}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{65}{24}$．
即65（1-q）=27（1-qⁿ），①
∵a_n=a₁q^n-1，
∴$\frac{9}{8}$q^n-1=$\frac{1}{3}$，即q^n-1=$\frac{8}{27}$，
即qⁿ=$\frac{8}{27}$q，代入①得65（1-q）=27（1-$\frac{8}{27}$q）=27-8q，
得57q=38，即q=$\frac{2}{3}$，则（$\frac{2}{3}$）^n-1=$\frac{8}{27}$=（$\frac{2}{3}$）³，
即n-1=3，得n=4．
（2）∵q=$\frac{2}{3}$，a₁=$\frac{9}{8}$，
∴a_n=（$\frac{9}{8}$）•（$\frac{2}{3}$）^n-1=（$\frac{3}{2}$）³•（$\frac{2}{3}$）^n-1=（$\frac{2}{3}$）^n-4．

点评 本题主要考查等比数列的通项公式以及等比数列的应用，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．