Question

5．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=3，AC=2，D是BC边上的一点（含端点），则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范围是[-6，1]．

Answer 1

分析 建立平面直角坐标系，求出各点坐标，使用坐标计算．

解答 解：以BC所在直线为x轴，以B为原点建立平面直角坐标系，
∵BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}-2AB•ACcos∠BAC}$=$\sqrt{7}$．∴cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•AC}$=$\frac{9+7-4}{6\sqrt{7}}$=$\frac{2}{\sqrt{7}}$．∴sinB=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$．
∴A（$\frac{6}{\sqrt{7}}$，$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$），B（0，0），C（$\sqrt{7}$，0）．
设D（a，0），则$\overrightarrow{AD}$=（a-$\frac{6}{\sqrt{7}}$，-$\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$），$\overrightarrow{BC}$=（$\sqrt{7}$，0）．
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$=$\sqrt{7}$a-6．
∵D是BC边上的一点（含端点），∴0≤a≤$\sqrt{7}$．
∴当a=0时，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$取得最小值-6，当a=$\sqrt{7}$时，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$取得最大值1．
故答案为[-6，1]．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系是常用方法，属于中档题．