Question

已知直线l：（2a+b）x+（a+b）y+a-b=0．
（1）证明直线l过定点，并求出该定点的坐标；
（2）求直线l与第二象限所围成三角形的面积的最小值，并求面积最小时直线l的方程．

Answer 1

考点：恒过定点的直线

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）直线l：（2a+b）x+（a+b）y+a-b=0化为a（2x+y+1）+b（x+y-1）=0，即可得出结论；
（2）利用截距式、基本不等式及其三角形的面积计算公式即可得出．

解答： 解：（1）a（2x+y+1）+b（x+y-1）=0
得

2x+y+1=0 x+y-1=0

⇒

x=-2 y=1

…（4分）
∴直线恒过定点（-2，1）…（6分）
（2）设直线的横截距纵截距分别为-a，b
∴直线的方程为

x

-a

+

y

b

=1，
代入（-2，1），可得

2

a

+

1

b

=1…（8分）
又∵

2

a

+

1

b

=1≥2

2 ab

，∴1≥

8

ab

，ab≥8…（12分）
∴S=

1

2

ab≥4…（14分）
“=”号成立时，a=4，b=2，方程为x-2y+4=0…（16分）

点评：本题考查直线l过定点，考查了直线的截距式、基本不等式及其三角形的面积计算公式，比较基础．