Question

已知直线y=a交抛物线x²=4y于A，B两点，若该抛物线上存在点C使得∠ACB为直角，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：确定A（-2

a

，a），B（2

a

，a），设C（2m，m²），由该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，可得

AC

•

BC

=0，即可得到a的取值范围．

解答： 解：如图所示，可知A（-2

a

，a），B（2

a

，a），
设C（2m，m²），则

AC

=（2m+2

a

，m²-a），

BC

=（2m-2

a

，m²-a）．
∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，
∴

AC

•

BC

=0，
即4m²-4a+（m²-a）²=0．
∴m²=a-4≥0，解得a≥4．
∴a的取值范围为[4，+∞）．
故答案为：[4，+∞）．

点评：本题考查了如何表示抛物线上点的坐标、垂直于数量积得关系等基础知识，考查了推理能力和计算能力．