Question

设f（x）=log_a（1+x）+log_a（3-x）（a＞0，a≠1），且f（1）=2．
（1）求a的值及f（x）的定义域．
（2）求f（x）在区间[0，

3

2

]上的最大值．

Answer 1

考点：函数的定义域及其求法,函数最值的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（1）=2，求出a的值，由对数的真数大于0，求得x的取值范围，即得定义域；
（2）化简f（x），考查f（x）在区间[0，

3

2

]上的单调性，求出最大值．

解答： 解：（1）∵f（x）=log_a（1+x）+log_a（3-x）（a＞0，a≠1），
∴f（1）=log_a2+log_a2=2log_a2=2，
∴a=2；
∴f（x）=log₂（1+x）+log₂（3-x），
∴

1+x＞0 3-x＞0

，
解得-1＜x＜3；
∴f（x）的定义域是（-1，3）．
（2）∵f（x）=log₂（1+x）+log₂（3-x）=log₂（1+x）（3-x）=log₂[-（x-1）²+4]，
且x∈（-1，3）；
∴当x=1时，f（x）在区间[0，

3

2

]上取得最大值，是log₂4=2．

点评：本题考查了求函数的定义域和在闭区间上的最值问题，解题时应根据函数的解析式，求出定义域，根据定义域求出最值，是基础题．