Question

如图是正方体的表面展开图，在这个正方体中有如下命题：
①AF∥NC；
②BE与NC是异面直线；
③AF与DE成60°角；
④AN与ME成45°角．
其中正确命题的个数为（　　）

• A、3个
• B、2个
• C、1个
• D、0个

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：先由正方体的表面展开图，将正方体还原，再根据空间直线的位置关系及异面直线所成角的定义探求题中给出的4个命题的真假．

解答： 解：根据正方体的表面展开图，可画出正方体直观图，如右图所示．
易知AF与NC异面，故①错；
由四边形BENC为平行四边形可知，BE∥NC，故②错；
∵DE∥FC，∴AF与DE所成角即为AF与FC所成角，
而在等边三角形AFC中，AF与FC所成角为60°，故③对；
同理，由ME∥CA知，AN与ME所成角即为AN与CA所成角，
在等边三角形ANC中，AN与CA所成角为60°，故④错；
所以正确的命题有且只有1个，选C．

点评：1．已知几何体的平面展开图，探求原几何体中直线的位置关系或夹角问题，不能直接根据平面展开图下结论，应先将原几何体还原，在空间中分析．
2．证明空间两直线平行的常见方法有：
①同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补．
②公理4：平行于同一直线的两直线互相平行．
③构造或寻找中位线（三角形、平行四边形、梯形的中位线）、利用平行直线截线段成比例．常用手段是获取分点或中点，中点可借助平行四边形对角线的交点、等腰三角形底边中点等，必要时应添加辅助线．
④平行四边形的性质（对边互相平行）．
3．求两异面直线所成角的常用方法是，先将两异面直线中的一条或两条平移至相交，将空间角转化为两相交直线所成角，再把这个角放在一个三角形中，解此三角形即可．