Question

6．已知函数f（x）=sin（2x+φ）+2sin²x（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象过点（$\frac{π}{6}$，$\frac{3}{2}$）．
（1）求函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]的最小值；
（2）设角C为锐角，△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，若x=C是曲线y=f（x）的一条对称轴，且△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，a+b=6，求边c的长．

Answer 1

分析 （1）图象过点（$\frac{π}{6}$，$\frac{3}{2}$）．求出φ，利用二倍角、和与差和辅助角公式化简f（x），将内层函数作为整体，求出范围，即可得f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]的最小值；
（2）求出f（x）的对称轴，可得出C（注意C为锐角），根据△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，a+b=6，利用余弦定理求出
边c的长．

解答 解：函数f（x）=sin（2x+φ）+2sin²x，
∵图象过点（$\frac{π}{6}$，$\frac{3}{2}$）．
∴$\frac{3}{2}$=sin（2×$\frac{π}{6}$+φ）+2sin²$\frac{π}{6}$，
得：sin（$\frac{π}{3}$+φ）=1，
∴$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{6}$．
∴函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2sin²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x+1-cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]．
∴当2x-$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{6}$时，f（x）取得最小值为$\frac{1}{2}$．
（2）由（1）可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1．
其对称轴方程为：2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z，
∵x=C是曲线y=f（x）的一条对称轴，即2C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，C为锐角，k∈Z，
∴C=$\frac{π}{3}$．
又∵△ABC的面积为2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$absinC，
可得ab=8，a+b=6．
由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC，得：c²=（a+b）²-2ab-2abcosC=12
∴c=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了三角函数的化简和计算能力，三角函数的性质的运用，余弦定理的计算．属于中档题．