Question

10．已知虚数z满足|2z+5|=|z+10|．
（1）求|z|；
（2）是否存在实数m，是$\frac{z}{m}$+$\frac{m}{z}$为实数，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由；
（3）若（1-2i）z在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上，求复数z．

Answer 1

分析 （1）设z=x+yi（x，y∈R且y≠0），代入|2z+5|=|z+10|化简即可得出．
（2）利用复数的运算法则、复数相等即可得出．
（3）利用复数相等、方程组的解法即可得出．

解答 解：（1）设z=x+yi（x，y∈R且y≠0），
由|2z+5|=|z+10|得：（2x+5）²+4y²=（x+10）²+y²，
化简得：x²+y²=25，所以|z|=5．…（2分）
（2）∵$\frac{z}{m}$+$\frac{m}{z}$=$\frac{x+yi}{m}$+$\frac{m}{x+yi}$=$\frac{x+yi}{m}$+$\frac{m（x-yi）}{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$（\frac{x}{m}+\frac{mx}{{x}^{2}+{y}^{2}}）$+$（\frac{y}{m}-\frac{my}{{x}^{2}+{y}^{2}}）$i为实数，
∴$\frac{y}{m}-\frac{my}{{{x^2}+{y^2}}}=0$，又y≠0且x²+y²=25，∴$\frac{1}{m}-\frac{m}{25}=0$，解得m=±5．…（6分）
（3）由（1-2i）z=（1-2i）（x+yi）=（x+2y）+（y-2x）i及已知得：x+2y=y-2x，即y=-3x，
代入x²+y²=25，解得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{\sqrt{10}}}{2}\\ y=-\frac{{3\sqrt{10}}}{2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{{\sqrt{10}}}{2}\\ y=\frac{{3\sqrt{10}}}{2}\end{array}\right.$，
故$z=\frac{{\sqrt{10}}}{2}-\frac{{3\sqrt{10}}}{2}i$或$z=-\frac{{\sqrt{10}}}{2}+\frac{{3\sqrt{10}}}{2}i$．…（10分）

点评 本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式、方程组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．