Question

已知在等比数列{a_n}中，a₁=

1

3

，公比q=

1

3

．
（1）S_n为{a_n}的前n项和，证明：S_n=

1-an

2

；
（2）设b_n=log

1

3

a₁+log

1

3

a₂+…+log

1

3

a_n，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）把已知数据代入等比数列{a_n}的前n项和公式，化简可得；
（2）由对数的运算性质和等差数列的求和公式计算可得．

解答： （1）证明：∵等比数列{a_n}中，a₁=

1

3

，公比q=

1

3

，
∴a_n=

1

3

×(

1

3

)n-1=

1

3n

∴前n项和S_n=

a1(1-qn)

1-q

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

（1-

1

3n

）=

1-an

2

．
（2）解：b_n=log

1

3

a₁+log

1

3

a₂+…+log

1

3

a_n
=log

1

3

（a₁•a₂•…•a_n）=log

1

3

（a₁•a₁q…•a₁q^n-1）
=log

1

3

（a₁ⁿq^1+2+…+n-1）=log

1

3

[（

1

3

）ⁿ•(

1

3

)

n2

2

]=log

1

3

(

1

3

)

n2+2n

2

=

n2+2n

2

．

点评：本题考查等比数列的性质和求和公式，涉及对数的运算，属中档题．