Question

15．设函数f（x）=（x-1）•|x-a|（a∈R）．
（1）当a=2且x≥0时，关于x的方程f（x）=kx-$\frac{2}{9}$有且仅有三个不同的实根x₁，x₂，x₃，若t=max|x₁，x₂，x₃|，求实数t的取值范围
（2）当a∈（-1，$\frac{1}{5}$）时，若关于x的方程f（x）=2x-$\frac{1}{2}$a有且仅有三个不同的实根x₁，x₂，x₃求x₁+x₂+x₃的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=2时，作函数f（x）=（x-1）•|x-a|的图象，从而确定临界状态时的值，从而解得；
（2）分类讨论，当x≤a时，f（x）=（x-1）（a-x）=2x-$\frac{1}{2}$a，从而可得x₁=$\frac{a-1-\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$，当x＞a时，f（x）=（x-1）（x-a）=2x-$\frac{1}{2}$a，从而可得x₂+x₃=a+3，从而可得x₁+x₂+x₃=$\frac{a-1-\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$+a+3=$\frac{3a+5-\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$，再令g（x）=3x+5-$\sqrt{{x}^{2}-4x+1}$，求导g′（x）=3-$\frac{x-2}{\sqrt{{x}^{2}-4x+1}}$＞0，从而可得1-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜$\frac{3a+5-\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$＜$\frac{28-\sqrt{6}}{10}$，从而解得．

解答 解：（1）当a=2时，作函数f（x）=（x-1）•|x-a|的图象如下，
相切时取到一个临界状态，f（x）=（x-1）（2-x），
f′（x）=3-2x，
故3-2x=$\frac{（x-1）（2-x）+\frac{2}{9}}{x}$，
解得，x=-$\frac{4}{3}$（舍去）或x=$\frac{4}{3}$，故k=3-$\frac{8}{3}$=$\frac{1}{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}x-\frac{2}{9}}\\{y=（x-1）（x-2）}\end{array}\right.$解得，
x=$\frac{5-\sqrt{5}}{3}$或x=$\frac{5+\sqrt{5}}{3}$，
∵t=max{x₁，x₂，x₃}，
∴结合图象可得，2＜t＜$\frac{5+\sqrt{5}}{3}$；
（2）当x≤a时，f（x）=（x-1）（a-x）=2x-$\frac{1}{2}$a，
化简可得，x²-（a-1）x+$\frac{1}{2}$a=0，
△=（a-1）²-2a=a²-4a+1=（a-2）²-3，
∵a∈（-1，$\frac{1}{5}$），∴△＞0；
∴x₁=$\frac{a-1-\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$或x₂=$\frac{a-1+\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$（舍去），
当x＞a时，f（x）=（x-1）（x-a）=2x-$\frac{1}{2}$a，
化简可得，x²-（a+3）x+$\frac{3}{2}$a=0，
故△=（a+3）²-6a=a²+9＞0，
故x₂+x₃=a+3，
故x₁+x₂+x₃=$\frac{a-1-\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$+a+3=$\frac{3a+5-\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$，
令g（x）=3x+5-$\sqrt{{x}^{2}-4x+1}$，g′（x）=3-$\frac{x-2}{\sqrt{{x}^{2}-4x+1}}$＞0，
故g（x）在（-1，$\frac{1}{5}$）上单调递增；
故$\frac{-3+5-\sqrt{1+4+1}}{2}$＜$\frac{3a+5-\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$＜$\frac{3×\frac{1}{5}+5-\sqrt{\frac{1}{25}-\frac{4}{5}+1}}{2}$，
即1-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜$\frac{3a+5-\sqrt{{a}^{2}-4a+1}}{2}$＜$\frac{28-\sqrt{6}}{10}$，
故x₁+x₂+x₃的取值范围为（1-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{28-\sqrt{6}}{10}$）．

点评 本题考查了函数的性质的应用及导数的综合应用，同时考查了数形结合的思想方法应用，属于中档题．