Question

9．如图：边长为4的正方形ABCD的中心为E，以E为圆心，1为半径作圆．点P是圆E上任意一点，点Q是边AB，BC，CD上的任意一点（包括端点），则$\overrightarrow{PQ}$•$\overrightarrow{DA}$的取值范围为[-12，12]．

Answer 1

分析 先以E为坐标原点建立平面直角坐标系，求出$\overrightarrow{DA}=（0，-4）$，设P（cosα，sinα），分Q在边AB，BC，CD上三种情况，当Q在边AB上时可设Q（x₀，-2），求出$\overrightarrow{PQ}=（{x}_{0}-cosα，-2-sinα）$，$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{DA}=8+4sinα$，所以由-4≤4sinα≤4可得到4$≤\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{DA}≤12$，同样的办法求出另外两种情况下的$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{DA}$的取值范围，最后对这三种情况下所得$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{DA}$求并集即可得到$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{DA}$的取值范围．

解答 解：以E为坐标原点，x轴∥AB，y轴∥AD，建立如图所示平面直角坐标系：
设P（cosα，sinα），$\overrightarrow{DA}=（0，-4）$；
（1）若Q点在边AB上，设Q（x₀，-2），-2≤x₀≤2，则：
$\overrightarrow{PQ}=（{x}_{0}-cosα，-2-sinα）$；
∴$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{DA}=8+4sinα$；
-4≤4sinα≤4；
∴$4≤\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{DA}≤12$；
（2）若Q点在边BC上，设Q（2，y₀），-2＜y₀≤2，则：
$\overrightarrow{PQ}=（2-cosα，{y}_{0}-sinα）$；
∴$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{DA}$=-4y₀+4sinα；
-8＜-4y₀≤8，-4≤4sinα≤4；
∴$-12＜\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{DA}≤12$；
（3）若Q点在边CD上，设Q（x₀，2），-2≤x₀＜2，则：
$\overrightarrow{PQ}=（{x}_{0}-cosα，2-sinα）$；
∴$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{DA}=-8+4sinα$；
∴$-12≤\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{DA}＜-4$；
∴综上可得$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{DA}∈[-12，12]$．
故答案为：[-12，12]．

点评 考查建立平面直角坐标系解决问题的方法，由点的坐标求向量的坐标，向量数量积的坐标运算，设出P点坐标，讨论Q点所在的边是求解本题的关键．