Question

已知函数在上是增函数,
（1）求实数的取值集合；
（2）当取值集合中的最小值时，定义数列；满足且，，求数列的通项公式；
（3）若，数列的前项和为，求证：.

Answer 1

（1）；（2）；（3）详见解析

试题分析：（1）函数在区间是增函数，说明恒成立，再参变分离确定的取值集合；
（2）由（1）知，表示，代入中，得关于和的递推式，再根据递推公式求通项公式，常见的根据递推公式求通项公式的方法有：①，用累积法；②，用累加法；③(p,q是常数)，用构造法；④（p,q,m是常数），用两边取倒数，再用构造法，该题，用③求；（3）首先求数列的通项公式，再根据通项公式的具体形式，选择合适的求和方法，常见的求和方法有①直接法，直接利用等比数列或等差数列前n项和公式；②裂项相消法，在求和的过程中互相抵消的办法；③错位相减法，适合于通项公式是等差数列乘以等比数列的类型；④分组求和法，分组分别求和再相加的办法；⑤奇偶并项求和法，研究奇数项和偶数项的特点来求和的办法，该题，利用③④结合起来求和,再证明不等式成立.
试题解析：(1) 因为函数在上是增函数,只需在满足恒成立,即，所以；
（2）由（1）知，因为，∴，且，所以，∴，∴是以2为首项，3为公比的等比数列，故，；
（3）由（2）知，令，
，两式相减得，故.