Question

【题目】如图，某地村庄P与村庄O的距离为千米，从村庄O出发有两条道路，经测量，的夹角为，OP与的夹角满足（其中），现要经过P修一条直路分别与道路交汇于两点，并在处设立公共设施．

（1）已知修建道路的单位造价分别为2m元/千米和m元/千米，若两段道路的总造价相等，求此时点之间的距离；

（2）考虑环境因素，需要对段道路进行翻修，段的翻修单价分别为n元/千米和元/千米，要使两段道路的翻修总价最少，试确定点的位置．

Answer 1

【答案】（1）千米； （2）A位于距O点3千米处，B位于距O点3千米处．.

【解析】

（1）先建立坐标系，求出P点坐标，再根据条件求B点坐标，最后根据两点间距离公式得结果，（2）先设直线方程，解得A,B坐标，用坐标表示翻修总价，最后利用导数求函数最值.

（1）以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，

因为，所以，

设，由，得，所以．

由题意得，所以，所以B点纵坐标为，

又因为点B在直线上，所以，

所以．

答：之间的距离为千米．

（2）设总造价为S，则，

设，要使S最小，只要y最小．

当轴时，，这时，

所以．

当AB与x轴不垂直时，设直线方程为，

令，得点A的横坐标为，所以，

令，得点B的横坐标为，，

因为且，所以或，

此时，

，

当时，y在上递减，在上递增，

所以，此时；

当时，．

综上所述，要使段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距O点千米处．

答：要使段道路的翻修总价最少，A位于距O点3千米处，B位于距O点3千米处．