Question

设f（x）=x³+ax²+bx+1的导数f'（x）满足f'（1）= 2a，f'（2）=-b，其中常数a，b∈R。
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）设g（x）=f'（x）e^-x，求函数g（x）的极值。

Answer 1

解：（1）因 f（x）=x³+ax²+bx+1，故f'（x）=3x²+2ax+b
令x=1，得f'（1）=3+2a+b，由已知f'（1） =2a，
因此3+2a+b =2a，解得b=-3
又令x=2，得f'（2）=12+4a+b，由已知f'（2）=-b，
因此12+ 4a+b=-b，解得
因此，
从而
又因为，
故曲线y=f（x）在点（1，f（1）） 处的切线方程为
，即6x+2y-1=0。
（2）由（1）知g（x）=（3x²-3x-3）e^-x，
从而有g'（x）=（-3x²+9x）e^-x，
令g'（x）=0，得-3x²+9x=0，解得x₁=0，x₂=3
当x∈（-∞，0）时，g'（x）＜0，故g（x）在（-∞，0）上为减函数；
当x∈（0，3）时，g'（x）>0，故g（x）在（0，3）上为增函数；
当x∈（3，+∞）时，g'（x）＜0，故g（x）在（3，+∞）上为减函数；
从而函数g（x）在x₁=0处取得极小值g（0）=-3，
在x₂=3处取得极大值g（3）=15e^-3。