Question

若直线y=x+m与曲线y=

4-x2

有且只有一个公共点，则实数m的取值范围

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：曲线y=

4-x2

表示一个半圆，当直线y=x+m与半圆相切时，求得m的值；当直线y=x+m过点（-2，0）时，求得m的值；当直线y=x+m过点（2，0）时，求得m的值，数形结合可得m的范围．

解答： 解：曲线y=

4-x2

即 x²+y²=4 （y≥0），
表示以原点为圆心，半径等于2的半圆，如图．
当直线y=x+m与半圆相切时，由2=

|0-0+m|

2

，可得 m=2

2

，或m=-2

2

（舍去）．
当直线y=x+m过点（-2，0），
把点（-2，0）代入直线y=x+m可得0=-2+m，故m=2．
当直线y=x+m过点（2，0），
把点（2，0）代入直线y=x+m可得，0=2+m，故m=-2．
数形结合可得，当直线y=x+m与曲线y=

4-x2

有且只有
一个公共点时，
则m的取值范围是：-2≤m＜2或m=2

2

，
故答案为：-2≤m＜2或m=2

2

．

点评：本题主要函数的零点的定义，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．