Question

（2012•桂林模拟）在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知2acosA=ccosB+bcosC．
（1）求A的大小；
（2）求cosB+cosC的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据正弦定理与两角和的正弦公式，将已知等式化简，得2sinAcosA=sin（B+C），结合三角形内角和定理与诱导公式，得2cosA-1=0，所以A=

π

3

；
（2）因为A=

π

3

，结合B是锐角△ABC的内角，可得B∈(

π

6

，

π

2

)．再将cosB+cosC化简整理为sin（B+

π

6

），结合三角函数的图象与性质，不难得到cosB+cosC的取值范围．

解答：解：（1）∵2acosA=ccosB+bcosC
∴由正弦定理，得2sinAcosA=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）
∵△ABC中，B+C=π-A，∴2sinAcosA=sinA，得sinA（2cosA-1）=0
∵A∈（0，π），得sinA＞0，∴2cosA-1=0，得cosA=

1

2

，得A=

π

3

（2）∵B+C=π-A=

2π

3

，得C=

2π

3

-B，
∴cosB+cosC=cosB+cos（

2π

3

-B）=cosB+cos

2π

3

cosB+sin

2π

3

sinB=

1

2

cosB+

3

2

sinB=sin（B+

π

6

）
∵B是锐角△ABC的内角，可得B∈(

π

6

，

π

2

)
∴B+

π

6

∈(

π

3

，

2π

3

)，可得sin（B+

π

6

）的最小值大于sin

π

3

=

3

2

当B=

π

3

时，sin（B+

π

6

）有最大值为1
由此可得，cosB+cosC的取值范围是（

3

2

，1]．

点评：本题在锐角△ABC中，求两个角余弦和的取值范围．着重考查了正弦定理、两角和的正弦公式和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．