Question

15．如图所示是函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的一段图象．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知在△ABC中，A为锐角，B＞C，f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{12}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，若$\frac{cosB}{sinC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$•$\overrightarrow{AC}$=λsinA•$\overrightarrow{BC}$，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）由f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{12}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求得sinA的值，再根据-$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BC}$以及 $\frac{cosB}{sinC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$•$\overrightarrow{AC}$=λsinA•$\overrightarrow{BC}$，求得λ=$\frac{1}{sinA}$，从而得出结论．

解答 解：（1）由函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的一段图象，
可得 $\frac{1}{2}$T=$\frac{π}{ω}$=$\frac{5π}{12}$-（-$\frac{π}{12}$），∴ω=2．
再根据五点法作图可得2×$\frac{5π}{12}$+φ=π，求得φ=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）△ABC中，A为锐角，B＞C，f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{12}$）=2sinA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∵-$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BC}$，故由 $\frac{cosB}{sinC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$•$\overrightarrow{AC}$=λsinA•$\overrightarrow{BC}$，可得$\frac{cosB}{sinC}$=-1，$\frac{cosC}{sinB}$=1，λsinA=1．
∴cosB=-sinC，cosC=sinB，再结合B＞C，可得cosB＜0，cosC＞0，
∴λ=$\frac{1}{sinA}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，两个向量的加减法及其几何意义，属于中档题．