【题目】已知椭圆(
),点
为椭圆短轴的上端点,
为椭圆上异于
点的任一点,若
点到
点距离的最大值仅在
点为短轴的另一端点时取到,则称此椭圆为“圆椭圆”,已知
.
(1)若,判断椭圆
是否为“圆椭圆”;
(2)若椭圆是“圆椭圆”,求
的取值范围;
(3)若椭圆是“圆椭圆”,且
取最大值,
为
关于原点
的对称点,
也异于
点,直线
、
分别与
轴交于
、
两点,试问以线段
为直径的圆是否过定点?证明你的结论.
【答案】(1)是;(2);(3)是,证明见解析.
【解析】
(1)直接判断即可,
(2)由(1)的方法判断,可得y=﹣2时,函数值达到最大,分别讨论二次项系数的正负,是否满足条件得出a的取值范围;
(3)设参数方程满足以MN为直径的圆过原点,使数量积为零得出定点(0,2
).
(1)由题意得椭圆方程:1,所以A(0,2),
设P(x,y)则|PA|2=x2++(y﹣2)2=5(1)+(y﹣2)2
y2﹣4y+9,y∈[﹣2,2],
二次函数开口向下,对称轴y=﹣8,y∈[﹣2,2]上函数单调递减,
所以y=﹣2时,函数值最大,此时P为椭圆的短轴的另一个端点,
∴椭圆是“圆椭圆”;
(2)由(1)的方法:椭圆方程:1,A(0,2)设P(x,y),则|PA|2=x2+(y﹣2)2=a2(1
)+(y﹣2)2=(
1)y2﹣4y+4+a2,y∈[﹣2,2],由题意得,
当且仅当y=﹣2时,函数值达到最大,
讨论:①当开口向上时,满足:﹣2<a<2(与
矛盾,舍);
②当开口向下时,满足2<a≤2
,
综上a的范围:(2,2].
(3)a=2,椭圆方程:
1,由题意:设P(2
cosθ,sinθ),θ∈[0,2π],且
,则Q(﹣2
cosθ,﹣sinθ),则直线AP:y
x+2M(
,0)
则直线AQ:y2N(
,0),
MN为直径的圆过定点C,由对称性知C在y轴上,∴设C(0,n)则,且0,
∴,
(
n),∴
,
所以得定点(0,2
).
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若存在常数 k(k∈N * , k≥2)、d、t( d , t∈R),使得无穷数列 {a n }满足a n +1,则称数列{an }为“段差比数列”,其中常数 k、d、t 分别叫做段长、段差、段比.设数列 {bn }为“段差比数列”.
(1)已知 {bn }的首项、段长、段差、段比分别为1、 2 、 d 、 t .若 {bn }是等比数列,求 d 、 t 的值;
(2)已知 {bn }的首项、段长、段差、段比分别为1、3 、3 、1,其前 3n 项和为 S3n .若不等式 S3n≤ λ 3n1对 n ∈ N *恒成立,求实数 λ 的取值范围;
(3)是否存在首项为 b,段差为 d(d ≠ 0 )的“段差比数列” {bn },对任意正整数 n 都有 bn+6 = bn ,若存在, 写出所有满足条件的 {bn }的段长 k 和段比 t 组成的有序数组 (k, t );若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,将曲线
(
为参数)上任意一点
经过伸缩变换
后得到曲线
的图形.以坐标原点
为极点,x轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线
.
(1)求曲线的普通方程和直线
的直角坐标方程;
(2)点P为曲线上的任意一点,求点P到直线
的距离的最大值及取得最大值时点P的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆 (a>b>0)长轴的两顶点为A、B,左右焦点分别为F1、F2,焦距为2c且a=2c,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3.
(1)求椭圆C的方程;
(2)在双曲线 上取点Q(异于顶点),直线OQ与椭圆C交于点P,若直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k1、k2、k3、k4,试证明:k1+k2+k3+k4为定值;
(3)在椭圆C外的抛物线K:y2=4x上取一点E,若EF1、EF2的斜率分别为,求
的取值范围.
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