Question

已知函数f（x）=

sinx+cosx+2x2+x

2x2+cosx

的最大值是M，最小值为N，则（　　）

• A、M-N=4
• B、M+N=4
• C、M-N=2
• D、M+N=2

Answer 1

考点：三角函数的最值,同角三角函数基本关系的运用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：将f（x）=

sinx+cosx+2x2+x

2x2+cosx

转化为f（x）=

sinx+x

2x2+cosx

+1，构造函数g（x）=

sinx+x

2x2+cosx

，易知g（x）=

sinx+x

2x2+cosx

是奇函数，从而可得M+N=2．

解答： 解：∵f（x）=

sinx+cosx+2x2+x

2x2+cosx

=

sinx+x

2x2+cosx

+

cosx+2x2

2x2+cosx

=

sinx+x

2x2+cosx

+1，
令g（x）=

sinx+x

2x2+cosx

，
则g（-x）=

sin(-x)+(-x)

2(-x)2+cos(-x)

=

-sinx-x

2x2+cosx

=-

sinx+x

2x2+cosx

=-g（x），
∴g（x）=

sinx+x

2x2+cosx

是奇函数，
∴g（x）的最大值与最小值之和为0，
∴f（x）的最大值与最小值之和为2，即M+N=2，
故选：D．

点评：本题考查三角函数的最值，考查函数的奇偶性与最值，突出考查转化思想、创新思维与综合运算能力，属于难题．