Question

 已知点是直角坐标平面内的动点，点到直线的距离为，到点的距离为，且．

（1）求动点P所在曲线C的方程；

（2）直线过点F且与曲线C交于不同两点A、B(点A或B不在x轴上)，分别过A、B点作直线的垂线，对应的垂足分别为，试判断点F与以线段为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)；

（3）记，，(A、B、是(2)中的点)，问是否存在实数，使成立．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

进一步思考问题：若上述问题中直线、点、曲线C：，则使等式成立的的值仍保持不变．请给出你的判断            (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．

Answer 1

（1）设动点为， 依据题意，有，化简得．

因此，动点P所在曲线C的方程是：．

（2）点F在以MN为直径的圆的外部．

理由：由题意可知，当过点F的直线的斜率为0时，不合题意，故可设直线：，如图所示．

联立方程组，可化为，

则点的坐标满足．又、，可得点、．

点与圆的位置关系，可以比较点到圆心的距离与半径的大小来判断，也可以计算点与直径形成的张角是锐角、直角、钝角来加以判断．

因，，则=．于是，为锐角，即点F在以MN为直径的圆的外部．

（3）依据(2)可算出，

，

则，

．

所以，，即存在实数使得结论成立．对进一步思考问题的判断：正确．