【题目】已知函数.
(1)若函数在定义域上是单调增函数,求实数a的取值范围;
(2)讨论的极值点的个数;
(3)若有两个极值点
,且
,求
的最小值.
【答案】(1);(2)当
时,
的极值点的个数为0;当
时,
的极值点的个数为2;(3)
【解析】
(1)求出导函数,题意说明
在
上恒成立,可用分离参数法转化为求函数最值(可用基本不等式求最值).
(2)由,对
分类讨论,在(1)的基础上,
时无极值点,在
时,求出
的两根,可列表得出
的正负,得
的单调性,从而得极值点.
(3)由(2)知,
,求出
,注意
代换后可转化为
的代数式,令
,首先有
,
变为
的函数,由
求出
的取值范围后可得
的取值范围.
解:(1)定义域为,由题意得
因为函数在定义域上是单调增函数,所以
在
上恒成立
因为,所以
,所以
在
上恒成立
因为,当且仅当
时取等号,
所以,即
,所以,实数a的取值范围为
(2),
①时,由第(1)问可知,函数
在定义域上是单调增函数;
所以无极值点,即
的极值点的个数为0
②时,令
,得:
,
当时,
,故
列表:
+ | 0 | - | 0 | + | |
极大值 | 极小值 |
当时,
有极大值,当
时,
有极小值
所以,的极值点的个数为2
综上所述,当时,
的极值点的个数为0;当
时,
的极值点的个数为2
(3)由题意知,,
因为是函数
的两个极值点,所以是方程
的两个不等实根
所以,
所以
令,记
由可得:
,所以
,
又,所以
,所以
,即
,
因为,解得:
又,所以
在
上单调减
所以
所以的最小值为
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【题目】总体由编号为01,02,03,,49,50的50个个体组成,利用随机数表(以下选取了随机数表中的第1行和第2行)选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取,则选出来的第4个个体的编号为( )
78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74 |
32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01 |
A. 05 B. 09 C. 07 D. 20
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【题目】已知向量,
函数
.
(1)将函数的图像向右平移m(
)个单位长度,所得图像对应的函数为奇函数,写出m的最小值(不要求写过程);
(2)若,
,求
的值;
(3)若函数(
)在区间
上是单调递增函数,求正数
的取值范围.
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【题目】已知是定义在R上的奇函数,且满足
,
=1,数列{
}满足
=﹣1,
(
),其中
是数列{
}的前n项和,则
=
A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 1
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线:
=0(a>0),曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系;
(1)求曲线,
的极坐标方程;
(2)已知极坐标方程为=
的直线与曲线
,
分别相交于P,Q两点(均异于原点O),若|PQ|=
﹣1,求实数a的值;
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【题目】若函数同时满足:①对于定义域上的任意
,恒有
;②对于定义域上的任意
,当
时,恒有
,则称函数
为“理想函数”.给出下列四个函数中:①
; ②
; ③
; ④
,能被称为“理想函数”的有_____(请将所有正确命题的序号都填上).
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【题目】为了适应高考改革,某中学推行“创新课堂”教学.高一平行甲班采用“传统教学”的教学方式授课,高一平行乙班采用“创新课堂”的教学方式授课,为了比较教学效果,期中考试后,分别从两个班中各随机抽取名学生的成绩进行统计分析,结果如下表:(记成绩不低于
分者为“成绩优秀”)
分数 | |||||||
甲班频数 | |||||||
乙班频数 |
(1)由以上统计数据填写下面的列联表,并判断是否有
以上的把握认为“成绩优秀与教学方式有关”?
甲班 | 乙班 | 总计 | |
成绩优秀 | |||
成绩不优秀 | |||
总计 |
(2)在上述样本中,学校从成绩为的学生中随机抽取
人进行学习交流,求这
人来自同一个班级的概率.
参考公式:,其中
.
临界值表
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【题目】已知函数(
).
(1)若函数在区间
上的最小值为1,求实数m的值;
(2)若函数,其中
为奇函数,
为偶函数,不等式
对任意
恒成立,求实数a的取值范围.
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