Question

【题目】已知函数.

（1）若函数在定义域上是单调增函数，求实数a的取值范围；

（2）讨论的极值点的个数；

（3）若有两个极值点，且，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，的极值点的个数为0；当时，的极值点的个数为2；（3）

【解析】

（1）求出导函数，题意说明在上恒成立，可用分离参数法转化为求函数最值（可用基本不等式求最值）．

（2）由，对分类讨论，在（1）的基础上，时无极值点，在时，求出的两根，可列表得出的正负，得的单调性，从而得极值点．

（3）由（2）知，，求出，注意代换后可转化为的代数式，令，首先有，变为的函数，由求出的取值范围后可得的取值范围．

解：（1）定义域为，由题意得

因为函数在定义域上是单调增函数，所以在上恒成立

因为，所以，所以在上恒成立

因为，当且仅当时取等号，

所以，即，所以，实数a的取值范围为

（2），

①时，由第（1）问可知，函数在定义域上是单调增函数；

所以无极值点，即的极值点的个数为0

②时，令，得：，

当时，，故

列表：

	+	0	-	0	+
		极大值		极小值

当时，有极大值，当时，有极小值

所以，的极值点的个数为2

综上所述，当时，的极值点的个数为0；当时，的极值点的个数为2

（3）由题意知，，

因为是函数的两个极值点，所以是方程的两个不等实根

所以，

所以

令，记

由可得：，所以，

又，所以，所以，即，

因为，解得：

又，所以在上单调减

所以

所以的最小值为