Question

14．在平面内，定点A，B，C，D满足|$\overrightarrow{DA}$|=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|，$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{DA}$=-2，动点P，M满足|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，则|$\overrightarrow{BM}$|²的最大值是$\frac{49}{4}$．

Answer 1

分析 由|$\overrightarrow{DA}$|=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|，$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{DA}$=-2，可设：D（0，0），A（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），C（-1，-$\sqrt{3}$）．由动点P，M满足|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，可设：P（2+cosθ，sinθ）．M$（\frac{1+cosθ}{2}，\frac{sinθ-\sqrt{3}}{2}）$．再利用向量坐标运算性质、模的计算公式即可得出．

解答 解：∵|$\overrightarrow{DA}$|=|$\overrightarrow{DB}$|=|$\overrightarrow{DC}$|，$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{DC}$•$\overrightarrow{DA}$=-2，
∴可设：D（0，0），A（2，0），B（-1，$\sqrt{3}$），C（-1，-$\sqrt{3}$），
动点P，M满足|$\overrightarrow{AP}$|=1，$\overrightarrow{PM}$=$\overrightarrow{MC}$，
可设：P（2+cosθ，sinθ）．M$（\frac{1+cosθ}{2}，\frac{sinθ-\sqrt{3}}{2}）$．
∴$\overrightarrow{BM}$=$（\frac{3+cosθ}{2}，\frac{sinθ-3\sqrt{3}}{2}）$．
则|$\overrightarrow{BM}$|²=$（\frac{3+cosθ}{2}）^{2}$+$（\frac{sinθ-3\sqrt{3}}{2}）^{2}$
=$\frac{37+12sin（\frac{π}{6}-θ）}{4}$≤$\frac{49}{4}$，当且仅当$sin（\frac{π}{6}-θ）$=1时取等号．
故答案为：$\frac{49}{4}$．

点评 本题考查了向量坐标运算性质、模的计算公式、数量积运算性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．