Question

3．已知lgx+lgy=lg（x+y+3）．
（1）求xy的最小值；
（2）求x+y的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用对数函数的定义域，基本不等式，求得xy的最小值．
（2）根据x+y+3=xy，利用基本不等式求得x+y的最小值．

解答 解：（1）由lgx+lg y=lg（x+y+3），得 $\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{y＞0}\\{xy=x+y+3}\end{array}\right.$，
∵x＞0，y＞0，∴xy=x+y+3≥2$\sqrt{xy}$+3．∴xy-2$\sqrt{xy}$-3≥0．即（$\sqrt{xy}$）²-2$\sqrt{xy}$-3≥0．
∴（$\sqrt{xy}$+1）（$\sqrt{xy}$-3）≥0．∴$\sqrt{xy}$≥3，∴xy≥9，
当且仅当x=y=1时，等号成立．∴xy的最小值为9．
（2）∵x＞0，y＞0，∴x+y+3=xy≤（$\frac{x+y}{2}$）²．
∴（x+y）²-4（x+y）-12≥0，∴[（x+y）+2][（x+y）-6]≥0，∴x+y≥6．
当且仅当x=y=1时取等号，∴x+y的最小值为6．

点评 本题主要考查对数函数的定义域，基本不等式的应用，属于基础题．