Question

8．设函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-2ax²+bx在（2，f（2））的切线方程是直线3x+3y-8=0．
（1）求a、b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，得到关于a，b的方程组，求出a，b的值即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）∵（2，f（2））即在3x+3y-8=0上，
∴x=2时，$y=f（2）=\frac{2}{3}$，f'（x）=x²-4ax+b，
即$\left\{{\begin{array}{l}{f（2）=\frac{8}{3}-8a+2b=\frac{2}{3}}\\{k=f'（2）=4-8a+b=-1}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}}\right.$；
（2）由（1）知：$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-2{x^2}+3$，
则有f'（x）=x²-4x+3，
$\begin{array}{l}f'（x）＞0⇒x＜1或x＞3\\ f'（x）＜0⇒1＜x＜3\end{array}$，
即f（x）的增区间：（-∞，1）和[3，+∞），减区间：[1，3）．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题．